Koleksi

Teorema Ketidaklengkapan Gödel Menunjukkan Keterbatasan yang Ada dalam Semua Sistem

Teorema Ketidaklengkapan Gödel Menunjukkan Keterbatasan yang Ada dalam Semua Sistem

Teorema ketidaklengkapan Kurt Gödel ditulis pada tahun 1931, tetapi itu dibicarakan bahkan hingga hari ini dan akan tetap menjadi subjek dari lebih banyak diskusi yang akan datang. Alasan mengapa teorema ketidaklengkapan Gödel begitu menarik adalah karena ini bertujuan untuk menunjukkan kekusutan dalam sistem yang telah kita buat untuk diri kita sendiri.

Untuk lebih jelasnya, teorema ketidaklengkapan Gödel menunjukkan bahwa setiap sistem logika terdiri dari kontradiksi atau pernyataan yang tidak dapat dibuktikan.

TERKAIT: HIPOTESIS RIEMANN: MASALAH MATEMATIKA BERUMUR 160 TAHUN, JUTA DOLAR

Teorema ini sangat penting dalam membantu kita memahami bahwa sistem formal yang kita gunakan tidak lengkap. (SEBUAHsistem formal adalah sistem aksioma, berisi aturan inferensi, yang memungkinkan seseorang menghasilkan teorema baru.) Ini juga membuka argumen bahwa tidak ada teori dalam fisika, matematika, atau vertikal mana pun yang dapat 100% pasti.

Untuk waktu yang lama, matematikawan merasa terganggu oleh fakta bahwa mereka tidak dapat membuktikan hal-hal yang jelas, karena kurangnya metode untuk melakukannya.

Pada tahun 1900-an, tren formalisasi matematika mulai berlaku, membantu ahli matematika memecahkan masalah tersulit dengan bekerja menuju teori segalanya - teori pemersatu untuk semua matematika.

Namun, teorema ketidaklengkapan Gödel menunjukkan bahwa teori tunggal seperti itu tidak akan mungkin. Tidak semuanya dapat dibuktikan, karena akan selalu ada pernyataan dalam matematika yang tidak dapat dibuktikan atau disangkal.

Setiap sistem formal yang konsisten F di mana sejumlah aritmatika dasar dapat dilakukan tidak lengkap; yaitu, ada pernyataan dari bahasa F yang tidak dapat dibuktikan atau disangkal dalam F.

Dalam pernyataan ini, Anda perlu memperhatikan dua kata 'konsisten' dan 'tidak lengkap'.

Sebuah sistem Konsisten ketika pernyataan di dalamnya tidak memiliki kontradiksi.

Sebuah sistem Tidak lengkap ketika semua atau beberapa pernyataan di dalamnya tidak dapat dibuktikan atau disangkal.

Teorema menyatakan bahwa sistem F yang tidak memiliki kontradiksi pernyataan ketika diterapkan pada aritmatika dasar akan memiliki aksioma yang tidak dapat kita buktikan atau sangkal.

Sekarang, Anda mungkin bertanya mengapa kami tidak dapat sepenuhnya menyangkal atau membuktikan sesuatu. Dalam matematika, aksioma adalah pernyataan atau proposisi yang dianggap mapan, diterima, atau terbukti dengan sendirinya benar dan tidak perlu dibuktikan dalam teorema.

Aksioma sangat penting dalam matematika karena membantu ahli matematika untuk memperluas ruang lingkup studinya tanpa harus membuktikan setiap aspek teorema lagi.

Teorema ketidaklengkapan pertama Gödel, bagaimanapun, menyatakan bahwa beberapa kebenaran aritmatika tidak dapat dibuktikan karena itu akan membutuhkan sistem formal yang menggabungkan metode melampaui sistem aritmatika yang digunakan untuk menurunkannya.

Untuk setiap sistem yang konsisten F di mana sejumlah aritmatika dasar dapat dilakukan, konsistensi F tidak dapat dibuktikan dalam F itu sendiri.

Ini adalah perpanjangan dari teorema ketidaklengkapan pertama dan menunjukkan bahwa sistem formal yang mengklaim dirinya konsisten tidak dapat membuktikan bahwa ia tidak memiliki kontradiksi. Dalam kasus teorema kedua,F harus berisi lebih banyak aritmatika daripada dalam kasus teorema pertama.

Gödel mendemonstrasikan teorema ini menggunakan paradoks pembohong.

Pertimbangkan pernyataan "Saya berbohong." "Saya berbohong" adalah kontradiksi diri, karena jika itu benar, saya bukan pembohong, dan itu salah; dan jika itu salah, saya pembohong, jadi itu benar.

Oleh karena itu, pernyataan tersebut tidak pernah dapat membuktikan atau menyangkal dirinya sendiri.

Sebelum teorema Gödel, dunia matematika diatur oleh program Hilbert. Ini dirumuskan oleh David Hilbert di awal 20th abad untuk mengakhiri paradoks yang ditemukan dalam Teori Himpunan. Ini menyerukan formalisasi semua matematika dalam bentuk aksiomatik, bersama dengan bukti bahwa aksiomatisasi matematika ini konsisten.

Paradoks ini menjadi sangat menantang bagi para ahli matematika. Jadi, Hilbert membagi pernyataan matematika menjadi dua - Konten dan Ideal.

Matematika kontentual dianggap konsisten dan bersifat aritmatika. Matematika ideal adalah matematika yang memiliki nilai instrumental dalam sains atau kesederhanaan matematika.

Intinya, matematika ideal bersifat konseptual sedangkan matematika terbatas atau matematika kontekstual memiliki kegunaan praktis.

Untuk memberikan pemahaman tentang prinsip yang kokoh dalam matematika, Hilbert mengusulkan bahwa matematika harus didasarkan pada dasar aksioma yang konsisten dan dapat dibuktikan. Hilbert menyebut ini 'sudut pandang finiter.'

Namun, teorema ketidaklengkapan Gödel membantah argumen program Hilbert. Teorema Gödel yang menyatakan bahwa sistem apa pun yang berisi aritmatika akan memiliki argumen yang tidak dapat kita buktikan atau sangkal dan bahwa kita tidak dapat membuktikan bahwa sistem matematika itu konsisten, melontarkan argumen tentang konsistensi finiter ke luar jendela.

Teorema Gödel memberikan pukulan telak bagi program Hilbert, dan ahli matematika berhenti menggunakan pendekatan tersebut dalam mengevaluasi sistem finiter dan ideal. Gödel pada dasarnya membuktikan bahwa dalam cabang matematika mana pun, akan ada argumen yang tidak dapat dibuktikan atau disangkal.

Ini membuka berbagai argumen, tidak hanya dalam matematika tetapi juga di bidang sains dan logika lainnya.

Misalnya, teorema Gödel menyiratkan bahwa Anda tidak akan pernah bisa benar-benar memahami diri sendiri karena pikiran Anda terkandung dalam sistem tertutup, dan hanya bisa mengetahui sesuatu dari sudut pandangnya sendiri.

Dengan teorema ketidaklengkapan Gödel, kita tahu bahwa setiap proses yang menangani aritmatika dasar akan memiliki pernyataan yang tidak dapat kita buktikan atau sangkal. Dalam pengertian modern, ini berarti Anda tidak dapat membuat kompiler atau antivirus yang sempurna.

Teorema memungkinkan penurunan beberapa hasil tentang batas-batas prosedur komputasi. Contoh yang menonjol adalah tidak terpecahkannya masalah tersendat-sendat.

Masalah penghentian adalah masalah mencari tahu apakah program dengan masukan tertentu akan berhenti pada suatu waktu atau terus mengalami perulangan tanpa batas. Masalah keputusan ini berguna untuk menunjukkan batasan pemrograman.

Pernyataan Gödel bahwa ada lebih banyak hal yang benar daripada yang dapat Anda buktikan juga dapat digunakan untuk menggambarkan bahwa iman dan akal sehat tidak diadu satu sama lain, tetapi saling bergantung. Semua bentuk akal memiliki sesuatu yang tidak dapat Anda buktikan.

Teorema Gödel bahkan telah digunakan sebagai konstruksi logis untuk membuktikan keberadaan Tuhan (bukti ontologis Gödel).

Teorema tidak berarti akhir dari matematika tetapi merupakan cara baru untuk membuktikan dan menyangkal pernyataan berdasarkan logika. Teorema Gödel menunjukkan kepada kita batasan yang ada dalam semua sistem logika dan meletakkan dasar ilmu komputer modern.


Tonton videonya: WI2010 - La solitudine dei numeri primi - prof. Piergiorgio Odifreddi (Juli 2021).